Застосування методів аналізу і топології до задач про класифікацію, розклад, продовження відображень між різними просторами
Тривалість проєкту: з 01.01.2022 по 31.12.2024
Сума фінансування: 4500,000 тис. грн.
Виконавець проєкту: «Прикарпатський національний університет імені Василя Стефаника» (Проект МОН України)
Мета проєкту: Метою проєкту є розв’язання конкретних проблем засобами існуючих теоретичних методів, а також нових методів,створених саме для даної конкретної задачі. В разі створення нового методу планується навести повне і достовірне обґрунтування,яке дозволяє використовувати цей метод у подальшій роботі над іншими задачами.
Завдання проєкту:
- Дотримуємося гіпотези про те, що в теоремі про розклад регулярного оператора в суму псевдо-вкладення і порядково вузького оператора умова про порядкову неперервність оператора є зайвою. Для доведення цього ми плануємо вийти за межі лінійних операторів і розглянути дану проблему для ортогонально адитивних операторів, що мають дещо іншу порядкову структуру, яка допускає використання інших технічних засобів. Є також спеціальна техніка, яка дозволяє деякі результати, отримані для ортогонально адитивних операторів, переносити на лінійні, не зважаючи на відмінності у порядкових структурах.
- Застосувати техніку дослідження частково метричних просторів, розроблену в [3] і [42], до встановлення умов цілковитої регулярності, нормальності і метризовності частково метричних просторів, і доведення різних аналогів теорем про властивості метричних просторів.
- Довести, що відповідь на дану проблему позитивна. Зазначимо, що позитивна відповідь рівносильна до кон’юнкції таких двох гіпотез: кожний доповнювальний підпростір простору L1 з властивістю Шура ізоморфний до l1, а без властивості Шура – до L1. Кожна з цих гіпотез на сьогодні ані підтверджена, ані спростована. Основна ідея, яка може призвести до доведення гіпотез, полягає у використанні регулярності кожного лінійного неперервного оператора T: L1 → L1, тобто, можливості подання оператора T у вигляді різниці двох додатних операторів. Це – виняткова властивість банахової ґратки L1, яка на даний момент не використовувалася в жодній роботі, присвяченій розв’язанню даної проблеми. Зокрема, регулярність кожного проектора на просторі L1 істотно звужує клас доповнювальних підпросторів простору L1, роблячи недоповнювальними ті підпростори, які були доповнювальними в Lp при p > 1 (наприклад, підпростір, натягнений на систему Радемахера, чи на частину системи Гаара, яка складається з функцій, що входять до всіх пачок з парними номерами) за рахунок нерегулярних проекторів. Використати регулярність проекторів напросторі L1 ми плануємо, використовуючи сучасні досягнення теорії векторних ґраток.
Очікувані результати:
- Буде наведено приклад порядкового базису банахової ґратки, який не є базисом Шаудера.
- Банахова ґратка L1 не має порядкового базису.
- Кожний нескінченновимірний доповнювальний підпростір простору L1 з властивістю Шура ізоморфний до l1.
- Для довільного p≥1 кожний нескінченновимірний регулярно доповнювальний підпростір простору Lp ізоморфний до lp або до Lp.
Контактна особа і менеджер проєкту в Прикарпатському національному університеті ім. Василя Стефаника: д-р фіз.-мат., проф. Попов Михайло Михайлович,
e-mail: azagorodn@gmail.com